实验报告
学生：陈嘉宇     学号： U202341839      院系：数学231    批阅时间： 2025-3-14 22:37

实验目的

（1）研究波尔共振仪中弹性摆轮受迫振动的幅频特性和相频特性。
 
（2）研究不同阻尼力矩对受迫振动的影响，观察共振现象。

（3）学习用频闪法测定相差的方法。
 
（4）学习系统误差的修正方法。
 
【实验仪器】
 
BG-2型波尔共振仪

       在受迫振动状态下，系统除了受到驱动力的作用外，同时还受到回复力和阻尼力的作用。所以在稳定振动状态时物体的位移、速度变化与驱动力变化不是同相的，存在相差。当驱动力频率接近于系统的固有频率时，物体振动的振幅将增大。当物体振动振幅达到最大时，称为位移共振。位移共振频率接近振动物体固有频率，但比振动物体固有频率小。阻尼越小，位移共振频率越接近振动物体固有频率。当驱动力频率与振动物体固有频率相同时，受迫振动的速度幅达到最大，产生速度共振，此时物体振动位移比驱动力滞后90°。

       本实验所采用的波尔共振中的摆轮可在弹性力矩作用下自由摆动。若同时加上阻尼力矩和驱动力矩，摆轮可做受迫振动。用其来研究受迫振动特性，可直观地显示机械振动中的一些物理现象。

       当摆轮受到周期性驱动外力矩M=M₀coswω t的作用，并在有空气阻尼和电磁尼的介质中运动时(阻尼力矩设为-γdΘdt​ ,γ 为尼力矩系数)，其运动方程为Jd2Θdt2​ =-kΘ -γdΘdt​ +M₀cosω t(5.1-1)式中。J为摆轮的转动惯量:-kΘ 为弹性力矩;k为弹簧的劲度系数;M₀为驱动力矩的幅值；ω为驱动力的角频率。令ω20​ Θ=kJ​ ,2β=γJ​ ，m=M0​J​ 则式(5.1-1)变为 当mcosωt=0时，即在无周期性驱动外力矩作用时，式(5.1-2)即为阻尼振动方程；且当阻尼系数β=0,即无阻尼时，式(5.1-2)变为简谐振动方程，ω0​ 即为振动系统的固有角频率。  方程(5.1-2)的通解为

Θ =Θ₁e^-βtcos(ω ₁t+α )+Θ₂cos(ωt+φ) (5.1-3）

由式(5.1-3）可见，受迫振动可分成两部分:第一部分，Θ₁e^-βtcos(ω ₁t+α )表示阻尼振动，经过一定时间后振动衰减至可忽略不计。第二部分，因驱动力矩对摆轮做功，向振动系统传送能量，使系统最终达到稳定的动状态。此时振幅不变，其值为

Θ2​ =m√(ω20​−ω2)2+4β2ω2​ (5.1-4)

它与驱动力矩之间的相差φ 为φ =arctan2βωω20​−ω2​ =arctanβT20​Tπ(T2−T20​)​ (5.1-5)由式(5.1-4)和式(5.1-5)可看出，稳定振动状态的振幅Θ2​与相差的数值φ 取决于驱动力矩的幅值M₀、驱动力的频率ω 、系统的固有频率ω0​ 和阻尼系数β四个因素，而与振动的起始状态无关。

受迫振动的振幅与驱动力频率有关，由极大值条件δΘδω​ =0可知，当驱动力角频率为

ωr​ =√ω20​−2β2 (5.1-6)

Θr​ =m2β√ω20​−β2​ (5.1-7)

       此时，系统产生共振。阻尼系数β越小，共振时驱动力角频率越接近系统固有角频率，振幅就越大。

1. 定性观察摆轮的自由振动和阻尼振动

选中进入“自由振荡”(或“阻尼振荡”，再选中“阻尼选择”)，在“测量”置于默认的“关”状态下，可以直接从屏幕上读出每次振动的振幅和周期，注意观察振幅变化的特点. 数据的自动记录与查询功能:当测量界面中的“测量”处于被选择时，可以更改(通过上下按键，以下同)它的状态，将其置于“开”状态，则控制箱可以在摆轮摆动时自动记录屏上所显示的数据。当“测量”回到“关”状态时，可以选中“回查”，进入查询界面，通过上下按键查看所有记录的数据，按“确认”按钮可以退出回查状态。

 2. 测定受迫动的幅频特性和相频特性曲线(至少完成一种阻尼下的测量)

       选中“阻尼振荡”，将“阻尼选择”选中于适当的档位(如“阻尼2”)，再由测量界面返回到“实验步骤”界面后，才能选中“强迫振荡”进行测量。注意在实验过程中“阻尼选择”不能任意改变，或将整机电源切断，否则由于电磁铁剩磁现象将引起β值变化，只有在某一阻尼系数β的所有实验数据测量完毕，需要改变β值时，才可改变“阻尼选择”。进人“强迫振荡”的测量界面(默认选择“电机”)后，更改“电机”状态令其置于“开”，则启动电动机，当保持“周期”为“1”时，屏上可以直接显示摆轮和电动机的周期、振幅值。改变电动机的转速.即改变驱动力矩的频率w。设定某一电动机转速，当受迫振动稳定后，才可以开始准备测量(此时摆轮和电动机的周期必须趋向一致)。选择“周期”，把“周期”更改为“10”，再选择“测量”，更改其状态为“开”，控制箱开始自动记录数据。一次测量完成，测量”状态显示“关”，读出摆轮的振幅值0。记录驱动力矩10次振动周期10T、按住“闪光灯”按钮，利用闪光灯测定受迫振动位移与驱动力间的相差。将所测电动机转速刻度值、驱动力周期10T、振幅、相差等数据记录。

       每次改变强迫力周期钮的刻度(即改变电动机转速)进行测量前，均需返回“周期”为1的测量界面，等待系统稳定，之后再进行相应的测量. 强迫振动测量完毕、选中“返回”，回到“实验步骤”选择界面

 3. 测定尼系数β

       在“实验步骤”界面选中“阻尼振荡”，将“阻尼选择”置于与“强迫振荡”测量时相同的档位，确认进入阻尼测量界面。将有机玻璃盘上零度标志放在0位置，用手将摆轮转动140°~150°左右。松手后将“测量”状态更改为“开”。控制箱开始自动连续记录摆轮做阻尼振动10次的振幅数值Θ ₀、Θ₁、Θ₂、……、Θ_n。及周期。在“测量”回到“关”时，可以利用回查功能查询记录的数据。测量数据记录，利用公式lnΘ0​e−βtΘ0​e−β(t+nT)​ =nβt=lnΘ0​Θn​​ (5.1-8)求出β式中，n为阻尼振动的周期次数;Θn​ 为第n次振动的振幅，T为阻尼振动周期的平均值(可以测出10个摆轮振动周期值，取其平均值)。重复2、3次。

 4. 测定振幅Θ与固有频率ω0​ 的对应关系

将有机玻璃盘上零度标志线保持在“0”处，选中“自由振荡”测量。用手将摆轮提动到较大偏转处(约140°~150°)后放手，可以直接从屏上读出每次振幅值及其相应的摆动周期。若振幅变小时，周期不变，则可不必记录，也即只记录周期值变化时对应的幅值。重复几次即可作出Θn​ 与T_0n的对应关系。请注意、记录振幅幅值范围应该涵盖上表所测量的振幅值。

       如果选择控制箱自动记录数据的测量功能(此时只记录摆轮周期值变化时对应的振幅值)，则可以利用回查功能对振幅和周期值进行查询

在“实验步骤”界面，持续按住复位钮几秒钟，仪器自动复位，实验数据全部清除，关闭电源，实验结束。

5.数据记录和处理

1)绘制幅频特性和相频特性测量曲线:分别求出阻尼系数β和各个振幅所对应的固有振动周期T₀(频率ω0​)。作出幅频特性和相频特性曲线(至少作出一种阻尼下的特性曲线)。

2)计算阻尼系数β

       ①利用作图法或直线拟合最小二乘法求出β值:根据式(5.1-8)、利用表中的数据，采用作图法或直线拟合最小二乘法得到线性关系In(Θ0​ /Θn​ )~n,由该直线的斜率求出β值。

       ②利用共振曲线确定β值:当受迫振动达到稳定状态时，阻尼振动部分可以认为已衰减至零，因而振动位移只需要考虑强迫振动部分、即式(5.1-3)的第二项。阻尼系数较小(满足β²≤ω0​ ²)时，在共振位置附近(ω=ω0)，由于ω+ω0=2ω0，从式(5.1-4)和式(5.1-7)可得出(ΘΘr​​)2 =4β2ω20​4ω20​(ω−ω0​)2+4β2ω20​​ =β2(ω−ω0​)2+β2​ 

当Θ =1√2​ Θr​ 日，即(ΘΘr​​)2 =12​ 时，由上式可得 ω−ω0​=+(-)β。   作幅频特性曲线(ΘΘr​​)2-ω ，对应于图中(ΘΘr​​)2=12​ ，ω有两个值ω₁、ω₂。通常把共振幅频特性曲线上相对强度1/2处曲线的宽度定义为共振峰的宽度或共振带宽。由此求出β=ω2​−ω1​2​ 

  3)求解品质因数Q

       ①对于无驱动欠阻尼振动系统，振动的振幅满足关系式Θ=Θ1​ e^-βt，则其能量(正比于振幅平方)满足关系式E=E₁e^-2βt。振动系统的能量减小到初始能量的1/e所经历的时间为τ =12β​ 称为时间常量，或鸣响时间。技术上定义鸣响时间内振动次数的2π倍为阻尼振动的品质因数Q，Q=2π τT​ =ωτ 。阻尼不严重时，可用振动系统的固有周期或频率计算。②对于共振系统，可由幅频特性共振曲线确定Q值，即Q=ω0​共振带宽​ 

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1. 实验背景和目标
受迫振动实验通常涉及到一个具有固有频率的系统，例如一个弹簧-质量系统或者一个振动台。外部周期性力（如正弦力）施加在系统上，目的是观察和分析系统的响应。实验的主要目标通常是：
测量系统的响应频率：分析振动系统如何响应于外部强迫频率。
确定共振现象：研究在特定频率下（即共振频率）系统如何表现出最大振幅。
研究衰减效应：分析系统振幅随着时间的推移是如何变化的，尤其是在存在阻尼的情况下。
2. 实验原理
受迫振动的基本原理是，外部周期性力使得系统的位移随时间变化。外部激励力的频率与系统的固有频率之间的关系，决定了系统的振动特性。系统的响应可以分为以下几种情况：
共振：当外部驱动力的频率与系统的固有频率接近时，系统会发生共振现象，导致振幅急剧增加。
非共振：当外部驱动力的频率远离固有频率时，系统的振幅较小。
其中：
mm 是系统的质量，
cc 是阻尼系数，
kk 是弹簧常数（刚度），
F0F0​ 是外部施加的力的幅度，
ωω 是外部驱动力的角频率。
3. 实验分析
3.1 共振与非共振现象
在共振现象中，系统的振幅会随着外部驱动频率接近固有频率而增加，这一现象通常会导致系统的能量积累。如果不加以控制，系统可能会发生破坏。此时，阻尼对系统的影响也变得尤为重要，阻尼越大，振幅上升的速度就越慢。
在非共振情况下，系统的振幅较小，系统以较为稳定的方式响应外部激励。
3.2 阻尼效应
实验中，阻尼通常用来模拟能量的损耗。随着时间的推移，振幅会逐渐减小。阻尼的类型（如临界阻尼、欠阻尼或过阻尼）对系统的响应有着显著影响：
临界阻尼：系统会在最短时间内返回到平衡位置而不会振荡。
欠阻尼：系统会在逐渐减小的振幅下继续振荡。
过阻尼：系统会缓慢地返回到平衡位置，但不会发生振荡。
3.3 共振频率的测量
实验可以通过改变驱动频率来找出系统的共振频率。在实验中通常会通过测量振幅随频率变化的关系来确定共振频率。共振频率与系统的固有频率接近时，振幅会急剧增大。
3.4 幅-频曲线（Resonance Curve）
受迫振动的幅-频曲线展示了不同驱动频率下系统的振幅。通常，这个曲线在共振频率附近会出现一个尖锐的峰值，反映了在共振频率下系统振幅的最大化。

讨论

受迫振动实验的结果可以提供对系统动力学行为的深刻理解。以下是一些实验中可能出现的有趣现象：

• 共振的危险性：在实际工程中，避免共振是非常重要的。例如，在建筑物或桥梁设计中，必须确保外部振动源的频率不会与建筑物的固有频率接近，以避免结构的破坏。
• 非线性行为：如果外部激励力的幅度过大，系统可能会出现非线性行为，如振幅的饱和等，这会使得分析变得更加复杂。
• 阻尼的影响：合理的阻尼可以帮助减小振幅，避免共振带来的破坏，但过多的阻尼会使得系统响应变慢，降低效率。

• 结论

  通过受迫振动实验，可以深入理解振动系统的动态响应特性，尤其是在外部周期性力的作用下。实验可以帮助我们研究共振、阻尼以及系统如何响应不同频率的外部驱动。对工程设计和日常生活中的振动控制具有重要意义。

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